今回は、「単振動の典型問題」についての話題です。。。
では、さっそく、考えてみましょう。
問題
図１のように、天井に一端を固定されたばねに付けられた質量 $m$ の小球 P の運動を考える。 ばねの自然長を $\ell$ 、ばね定数を $k$、重力加速度を $g$ とする。
最初、ばねが $a$ だけ伸びて静止していた。 その状態から、ばねが自然長になるまで小球Pを鉛直上方に持上げて、静かに手を放した(図２)。
このとき、以下の各問いに答えなさい。
図１のように、天井に一端を固定されたばねに付けられた質量 $m$ の小球 P の運動を考える。 ばねの自然長を $\ell$ 、ばね定数を $k$、重力加速度を $g$ とする。
最初、ばねが $a$ だけ伸びて静止していた。 その状態から、ばねが自然長になるまで小球Pを鉛直上方に持上げて、静かに手を放した(図２)。
このとき、以下の各問いに答えなさい。
- 図１において、はじめに静止していた時の伸び $a$ を求めよ。
- 小球 P の時刻 $t$ における位置 $y$ を $t$ の関数として $y(t)$ を求めよ。
- 原点Oを最初に通過したときの小球 P の速さを求めよ。
- 原点Oを上向きに通過するまでの時間を求めよ。
- 運動方程式を立てると、鉛直下向きを正として、 $$m\frac{d^2x}{dt^2}=mg-kx$$ $$\therefore m\frac{d^2x}{dt^2}=-k\left(x-\frac{m}{k}\right) \cdots(ア)$$ $x=a$ で静止しているとき、$\dfrac{d^2x}{dt^2}=0$ なので、 $$右辺 = a-\frac{m}{k}=0$$ $$\therefore a= \frac{m}{k} //$$
- (ア)において、$x-\dfrac{m}{k}=X \cdots(イ)$ とおくと、 $$\therefore m\frac{d^2X}{dt^2}=-kX \cdots(ウ)$$ (ウ)より、 $$\frac{d^2X}{dt^2}=-\frac{k}{m}X$$ ここで、$\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ とおくと、 $$\therefore \frac{d^2X}{dt^2}=-\omega^2X \cdots(エ)$$ また、力学的エネルギー保存則より、 $$\frac{1}{2}m\cdot\left(\frac{dX}{dt}\right)^2+ \frac{1}{2}kX^2=\frac{1}{2}ka^2$$ $$\left(\frac{dX}{dt}\right)^2=\frac{k}{m}\left(a^2-X^2\right)$$ $$\frac{dX}{dt}=\pm\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot\sqrt{a^2-X^2}$$ $$\therefore \frac{dX}{dt}=\pm\omega\cdot\sqrt{a^2-X^2}$$ これより、変数分離形の微分方程式より、 $$\pm\frac{1}{\sqrt{a^2-X^2}}\cdot dX = \omega\cdot dt$$ $$\pm\int\frac{1}{\sqrt{a^2-X^2}}\cdot dX = \int\omega\cdot dt$$ ここで、 $$X=a\sin\theta \cdots(オ)$$ とおくと、 $$\frac{dX}{d\theta}=a\cos\theta$$ より、 $$\pm\int\frac{1}{\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}}\cdot a\cos\theta \cdot d\theta = \int\omega\cdot dt$$ $$\pm\int\frac{a\cos\theta}{a\cos\theta}\cdot d\theta = \int\omega\cdot dt$$ $$\pm\int d\theta= \int \omega\cdot dt$$ $$\therefore \theta = \omega t + C \cdots(カ)$$ (カ)を(オ)に代入して、 $$X=a\sin\left(\omega t + C\right) \cdots(キ)$$ 初期条件より、$t=0$ のとき、$X= -a$ なので、 $$-a=a\sin(\omega\times 0 +C)$$ $$-1=\sin C$$ $$\therefore C=-\frac{\pi}{2}$$ よって、(キ)より、 $$\therefore X=a\sin\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)$$ $$\therefore y(t) =a\sin\left( \sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t - \frac{\pi}{2}\right) // \cdots(ク)$$
- 原点Oを最初に通過したときの小球 P の速さを $v$ とすると、
力学的エネルギー保存の法則より、 $$\frac{1}{2}m\cdot 0^2+ \frac{1}{2}k(-a)^2=\frac{1}{2}mv^2$$ $$\therefore v = a\cdot\sqrt{\frac{k}{m}} (\because v\geqq 0) //$$
【別解】
または、(2)の結果(ク)を利用して考えてもよい。
(ク)を時刻 $t$ で微分すると、 $$v(t)=\frac{d}{dt}\{y(t)\}=\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot a\cdot\cos\left( \sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t - \frac{\pi}{2}\right) \cdots(ケ)$$ ここで、周期を $T$ とすると、 $$\therefore T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ であるので、
原点Oを最初に通過したときは、 $\dfrac{1}{4}T$ 周期後なので、 $$t= \frac{1}{4}\cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ $$\therefore t= \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}$$ これを(ケ)に代入して、 $$v(t) = \sqrt{\frac{k}{m}}\cdot a\cdot\cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\right)$$ $$v(t) = \sqrt{\frac{k}{m}}\cdot a\cdot 1$$ $$\therefore v(t) = a\cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$$ - 周期を $T$ とすると、
原点Oを上向きに通過するのは、$\dfrac{3}{4}T$ 後なので、
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
より、
$$\therefore t = \frac{3}{4}T = \frac{3\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}} //$$
いかがでしたか。
理解は出来ましたか？
では、また次回にお会いしましょう。