前回、運動方程式 $$m\frac{d^2x}{dt^2}=F(t)　\cdots(ア)$$ から、「外力$F$がした仕事とエネルギー」 $$\frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2=\int_{x(t_1)}^{x({t_2})}F(t)\cdot\Delta x　\cdots(イ)$$ を導出しました。
ここで、外力$F$がした仕事$W$は、 $$W =\int_{x(t_1)}^{x({t_2})}F(t)\cdot\Delta x　\cdots(ウ)$$ であり、「エネルギーそのもの」である。
外力$F$が「保存力」(重力、弾性力、万有引力、静電気力など)であるときには、$W$は、位置$x$での「ポテンシャルエネルギー$U$」(位置エネルギー)と言う。
位置$x$でのポテンシャルエネルギーを$U(x)$とすると、外力$F(x)$に逆らって仕事したときを考えているので、$-F(x)$で考えて、 $$\Delta U(x) = \int_{x(t_1)}^{x({t_2})}-F(t)\cdot\Delta x$$ $$\Delta U(x) = -\left(\int_{0}^{x_2}F(t)\cdot\Delta x- \int_{0}^{x_1}F(t)\cdot\Delta x\right) $$ $$\Delta U(x) = U(x_1) - U(x_2)　\cdots(エ)$$ と表わされる。
ここで、
重力位置エネルギーは、$F=mg$により、 $$U(h)=\int_{0}^{h}mg~ dx$$ $$U(h)=\Big[mgx\Big]_{0}^{h}$$ $$\therefore U(h)=mgh$$


弾性エネルギーは、$F=kx$により、 $$U(x)=\int_{0}^{x}kx~ dx$$ $$U(x)=\Big[\frac{1}{2}kx^2\Big]_{0}^{x}$$ $$\therefore U(x)=\frac{1}{2}kx^2$$

万有引力エネルギーは、$F=G\dfrac{Mm}{r^2}$により、 $$U(r)=\int_{\infty}^{r}G\dfrac{Mm}{r^2}~ dr$$ $$U(r)=\Big[-G\dfrac{Mm}{r}\Big]_{\infty}^{r}$$ $$\therefore U(r)=-G\dfrac{Mm}{r}$$
(イ)、(エ)より、 $$\frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2=U(x_1) - U(x_2)$$ $$\therefore \frac{1}{2}m{v_1}^2+U(x_1)=\frac{1}{2}m{v_2}^2+U(x_2)　\cdots(オ)$$ ここで、(オ)を『力学的エネルギー保存則』という。
つまり、

$(力学的エネルギー) = (運動エネルギー)+(位置エネルギー)$

が変化の前後で常に一定に保たれる、ということである。
外力$F(x)$が「非保存力」の場合には、「力学的エネルギー保存則は成り立たない」。
つまり、

非保存力が仕事すると力学的エネルギーは変化する。

このとき、

力学的エネルギー変化 = 非保存力のする仕事$T$

である。
ここで、

(エネルギー) = (運動エネルギー) + (位置エネルギー) + 仕事$T$

のように非保存力がした仕事を含めて考えると、このエネルギーは保存され、

『エネルギー保存則』

と言っている。。