こんにちは。
今回は、「整数問題」についての話題です。。。
「余りの扱い」では、『合同式』を使うと便利なことが多いので、ぜひ身につけよう。
以下に「定義」をあげておきます。
ポイント
$a$ を$m$ で割ったときの余りを $b$ とするとき、
$$a \equiv b~~(\mathrm{mod}~ m)$$
と書き、
$$m~を法としてaとbは合同である$$
という。
$a,b,c,d,m$ を整数とするとき、
- $a \equiv a~(\mathrm{mod}~ m)$
- $a \equiv b ~(\mathrm{mod}~ m)\Longrightarrow b \equiv a~(\mathrm{mod}~ m)$
- $a \equiv b , b \equiv c ~(\mathrm{mod}~ m)\Longrightarrow a \equiv c~(\mathrm{mod}~ m)$
- $a \equiv b , c \equiv d ~(\mathrm{mod}~ m)\Longrightarrow a \pm c \equiv b \pm d~(\mathrm{mod}~ m)$
- $a \equiv b , c \equiv d~(\mathrm{mod}~ m) \Longrightarrow ac \equiv bd~(\mathrm{mod}~ m)$
- $a \equiv b ~(\mathrm{mod}~ m)\Longrightarrow ac \equiv bc~(\mathrm{mod}~ m)$
- $ac \equiv bc~(\mathrm{mod}~ m) , cとmは互いに素 \Longrightarrow a \equiv b~(\mathrm{mod}~ m)$
- $a \equiv b \Longrightarrow a^n \equiv b^n ~(\mathrm{mod}~ m)~~(nは自然数)$
が成立する。
では、さっそく、考えてみましょう。
問題
$n^n-1$ が 3 で割り切れるような自然数 $n$ をすべて求めよ。
- $n\equiv 0$ (mod 3) のとき、
$$n^n-1 \equiv -1 ~(\mathrm{mod}~ 3)$$
$$\therefore 不適。$$
- $n\equiv 1$ (mod 3) のとき、
$$n^n-1 \equiv 0~(\mathrm{mod}~ 3)$$
$$\therefore 適する。$$
- $n\equiv 2$ (mod 3) のとき、
$n=3k+2$ $(k \geqq 0 の整数)$ とおくと
$$n \equiv 2~(\mathrm{mod}~ 3)$$
$$n^n \equiv 2^n~(\mathrm{mod}~ 3)$$
$$n^n -1 \equiv 2^n - 1~(\mathrm{mod}~ 3)$$
$$n^n -1 \equiv 2^{3k+2} - 1~(\mathrm{mod}~ 3)$$
$$n^n -1 \equiv 4\cdot 2^{3k} - 1~(\mathrm{mod}~ 3)$$
ここで、$4 \equiv 1$ (mod 3)より、
$$n^n -1 \equiv 1\cdot 2^{3k} - 1~(\mathrm{mod}~ 3)$$
$$\therefore n^n -1 \equiv 2^{3k} - 1~(\mathrm{mod}~ 3) \cdots(ア)$$
ここで、$m$ を$m\geqq 0$ の整数とすると、
$$2 \equiv -1 ~(\mathrm{mod}~ 3)$$
$$2^m \equiv ~(-1)^m ~(\mathrm{mod}~ 3)$$
$$2^m -1 \equiv ~(-1)^m - 1 ~(\mathrm{mod}~ 3)$$
なので、これが3で割り切れるための条件は、$(-1)^m=1$、つまり、
$$m=2s~(sは自然数)$$
で「$m$が偶数」になるときである。
よって、(ア)において、$3k$が偶数になるときで、
$$\therefore n=6k+2$$
したがって、i)、ii)、iii) より、
$$\therefore n= 3k+1、6k+2~~(kはk\geqq0の整数) //$$
それでは、別の問題を考えよう。
これは、「素直に割り算する」と、見通しが良くなります。
問題
正の整数 $n$ に対して、
$n^2+8$ が $2n+1$ の倍数となるような $n$ をすべて求めよ。
$n^2+8$ を $2n+1$ で実際に割り算すると、
$$n^2+8=(2n+1)\cdot\frac{2n-1}{4}+\frac{33}{4}$$
であるから、
$$4(n^2+8)=(2n+1)(2n-1) + 33$$
$$\frac{4(n^2+8)}{2n+1}=(2n-1) + \frac{33}{2n+1}$$
ここで、$n^2+8$ は $2n+1$ で
割り切れるので、左辺は整数になり、同時に右辺も整数になる。
このとき、$\dfrac{33}{2n+1}$ が整数になるのは、
$$(2n+1) が33 の約数になるとき$$
である。
$n>0$の整数に対して、33の約数は、3,11,33。
$$2n+1=3,11,33$$
$$\therefore n = 1,5,16 //$$
いかがでしたか。
理解は出来ましたか？
では、また次回にお会いしましょう。