こんにちは。
初回となる「算数フォローアップ」の記事を書いていきます。
今回は「整数問題」の定番である『余りと周期性』についての話題です。
では、さっそく、考えてみましょう。
問題
1から2021までの整数をかけた
$$ 1\times 2 \times 3 \times \cdots\cdots \times 2021$$
の積について、次の各問いに答えなさい。
- 積を順に3で割っていくとき、何回目に初めて3で割り切れなくなりますか。
- 積を計算したとき、一の位から何個0が続きますか。
- 3で割り切れるもの、つまり、3の倍数についてのみ考えればよいので、
$2021\div 3=673 \cdots 2$より、3の倍数は673個。
さらに、この673個に対して3で割って
$673\div 3 =224 \cdots 1$より、3の倍数は224個。
さらに、この224個に対して3で割って
$224\div 3 =74 \cdots 2$より、3の倍数は74個。
さらに、この74個に対して3で割って
$74\div 3 =24 \cdots 2$より、3の倍数は24個。
さらに、この24個に対して3で割って
$24\div 3 =8 \cdots 0$より、3の倍数は8個。
さらに、この8個に対して3で割って
$8\div 3 =2 \cdots 2$より、3の倍数は2個。
で、これ以上は3で割り切れません。
よって、$673+224+74+24+8+2=1005$(回目) まで割り切れる。
$\therefore 1006回目で初めて3で割り切れなくなる。$
- $10=2\times5$ より、0が１個できるには、2が1個と5が1個必要になる。
これより、$ 1\times 2 \times 3 \times \cdots\cdots \times 2021$の中に、
2で割り切れる回数と5で割り切れる回数を考えて、少ない方の回数が0の個数に等しくなる。
ここで、2で割り切れる回数を考える。
2で割り切れるもの、つまり、2の倍数についてのみ考えればよいので、
$2021\div 2=1010 \cdots 1$より、2の倍数は1010個。
さらに、この1010個に対して2で割って
$1010\div 2 =505 \cdots 0$より、2の倍数は505個。
さらに、この224個に対して3で割って
$505\div 2 =252 \cdots 1$より、2の倍数は252個。
さらに、この252個に対して2で割って
$252\div 2 =126 \cdots 0$より、2の倍数は126個。
さらに、この126個に対して2で割って
$126\div 2 =63 \cdots 0$より、2の倍数は63個。
さらに、この63個に対して2で割って
$63\div 2 =31 \cdots 2$より、3の倍数は31個。
$31\div 2 =15 \cdots 1$より、2の倍数は15個。
さらに、この15個に対して2で割って
$15\div 2 =7 \cdots 1$より、2の倍数は7個。
さらに、この7個に対して2で割って
$7\div 2 =3 \cdots 1$より、2の倍数は3個。
さらに、この3個に対して2で割って
$3\div 2 =1 \cdots 1$より、2の倍数は1個。
で、これ以上は2で割り切れません。
よって、$1010+505+252+126+63+31+15+7+3+1=2013$(回) 割り切れる。
さらに、5で割り切れる回数を考える。
5で割り切れるもの、つまり、5の倍数についてのみ考えればよいので、
$2021\div 5=404 \cdots 1$より、5の倍数は404個。
さらに、この404個に対して2で割って
$404\div 5 =80 \cdots 4$より、5の倍数は80個。
さらに、この80個に対して3で割って
$80\div 5 =16 \cdots 0$より、5の倍数は16個。
さらに、この16個に対して5で割って
$16\div 5 =3 \cdots 1$より、5の倍数は3個。
で、これ以上は5で割り切れません。
よって、$404+80+16+3=503$(回) 割り切れる。
したがって、2013回と503回の少ない方なので、
$$\therefore 503個の0が続く。$$
$$<1> = 2$$
$$<2> = 2\times2=4$$
$$<3> = 2\times2\times2=8$$
$$<4> = 2\times2\times2\times2=16$$
$$<5> = 2\times2\times2\times2\times2=32$$
$$\cdots$$
から、一の位の数字は
$$2 \longrightarrow 4 \longrightarrow 8 \longrightarrow 6 \longrightarrow 2 \longrightarrow\cdots$$
となって、
$$2 \longrightarrow 4 \longrightarrow 8 \longrightarrow 6$$
が「周期４」で繰り返される。
ここで、
$$2021 \div 4 = 505 \cdots 1$$
なので、4の周期が505回繰り返され、0番目が2であるので余り1は、2番目であることを示す。
$$\therefore 一の位は 4。$$