3と7の最小公倍数は21なので、1から2021までの整数のなかで21の倍数は、
$$2021\div 21 = 96 \cdots 5　\cdots(ア)$$ であるから、96個ある。

ここで、 < A > + [ A ] =5 のときは、< A > は3未満、[ A ] は7未満より、
( < A >, [ A ] ) = (0,5)、(1,4)、(2,3)の3通りの場合がある。

• 　< A > = 0, [ A ] =5 のとき、
  < A > = 0 ： 3,6,9,【12】,15,18,21,24,$\cdots$
  [ A ] = 5 ： 5,【12】,19,26,33,40,$\cdots$
  これより、題意をみたすものは、 $$21\times□ + 12$$ の形の整数である。
  よって、これと(ア)より、( 95 + 1 ) = 96 個。
  
  
• 　< A > = 1, [ A ] =4 のとき、
  < A > = 1 ： 1,【 4 】,7,10,13,16,19,22,$\cdots$
  [ A ] = 4 ： 【 4 】,11,18,$\cdots$
  これより、題意をみたすものは、 $$21\times□ + 4$$ の形の整数である。
  よって、これと(ア)より、( 96 + 1 ) = 97 個。
  
  
• 　< A > = 2, [ A ] =3 のとき、
  < A > = 2 ： 2,5,8,11,14,【 17 】,20,23,$\cdots$
  [ A ] = 3 ： 3,10,【 17 】,24,31,38,$\cdots$
  これより、題意をみたすものは、 $$21\times□ + 17$$ の形の整数である。
  よって、(ア)より、( 95 + 1 ) = 96 個。
  
  したがって、以上 i.、ii. 、iii. より、 $$\therefore 96+97+96 =288 個。 $$