今回は、「約数と倍数」の話題です。
これも定番問題で比較的易しいので、未経験の人はここで理解してしまおう。
では、さっそく、考えてみましょう。
問題
1, 2, 3, $\cdots\cdots$ , 2020 の数字が書かれている2020枚のカードがあり、
裏には何も書かれていません。はじめは、下のようにすべて表向きで並べています。
1, 2, 3, $\cdots\cdots$ , 2020
この2020枚のカードに対して、次の [操作 1] ～ [操作 2019] を順に行います。
1, 2, 3, $\cdots\cdots$ , 2020
この2020枚のカードに対して、次の [操作 1] ～ [操作 2019] を順に行います。
- [操作 1] 2の倍数が書かれているカードをすべて反転させます。
(反転とは、「表向き」は「裏向き」に、「裏向き」は「表向き」にすることです。) - [操作 2] 3の倍数が書かれているカードをすべて反転させます。
- [操作 3] 4の倍数が書かれているカードをすべて反転させます。
$\vdots$
- [操作 2019] 2020の倍数が書かれているカードをすべて反転させます。
- 2020 のカードを何回反転させたか答えなさい。
- 表向きのカードの枚数を答えなさい。
- 裏向きになっていたら、奇数回反転させたカードである。
つまり、約数1を除外した、そのカードの数字の約数の個数が「偶数個」であるカードである。
同様にして、表向きになっていたら、偶数回反転させたカードである。
つまり、約数1を除外した、そのカードの数字の約数の個数が「奇数個」であるカードである。
すなわち、「反転させた回数は、約数の個数 $- 1$」になる。
ここで、2020を素因数分解すると、
$2020=2^2\times5\times101$なので、約数の個数は、
$$(2+1)\times(1+1)\times(1+1) = 12 個。$$ よって、 $$\therefore 12-1=11 個。$$ - 表向きであるのは、偶数回反転させたカードである。
それは、約数の個数が奇数個であるカードなので、平方数になる。
ここで、上限は、$44^2=1936$、$45^2=2025$より、
最大で$44\times44$。
よって、 $$2^2, 3^2, 4^2, \cdots , 44^2$$ の43個が条件をみたしている。これと$1^2=1$の場合を加えて、$\therefore 44 枚。$
問題
表が黒色、裏が白色の石があります。この石をすべて表になるように円周上に45個並べて、
次のような操作をします。
- 1個の石を選び、その石をうら返して白色にします。これを1回目のうら返しとします。
- そこから時計まわりに6個目ごとにうら返して、黒色は白色に、白色は黒色に 変えていきます。
- 白色の石が一番多くなるとき、白色の石は何個ありますか。
- ふたたび全部の石が黒色になるのは、石を何回うら返したときですか。
- 石を2019回うら返したとき、白色の石は何個ありますか。
- 最初の石を0、それ以降の石を時計回りに1, 2, 3, $\cdots\cdots$ , 44 とすると、
裏返す石は順に、
0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 0, $\cdots\cdots$
となり、周期15でくり返す。39まで裏返したとき、6と45の最大公約数である3の倍数の石がすべて白くなる。 (この3の倍数以外は、黒のまま変化せず。)
このとき、最も多くて、 $$\therefore 45\div3= 15個。$$ - 0から39までの15個うら返すことを2回くり返すと、3の倍数の15個の石がすべて黒に戻る。 $$\therefore 15\times2=30 回。$$
- $2019\div30=67 \cdots 9$ より、2019回うら返すと、 すべての石が黒くなってから9個がうら返って白くなった状態になる。 $$\therefore 9 個。$$
いかがでしたか。
理解は出来ましたか？
では、また次回にお会いしましょう。