$$2x^2-xy+3y^2-4x-5y-6=0$$
$$2x^2-(y+4)x+3y^2-5y-6=0 \cdots(ア)$$
(ア)を $x$ の2次方程式とみて、判別式を $D$ とおくと、
$$D = (y+4)^2-8(3y^2-5y-6)$$
$$D= -23y^2+48y+64$$
これを $f(y)$ とおくと、
$$f(y)= -23y^2+48y+64 \cdots(イ)$$
である。
ここで、 $x$ が整数となるには、
$$少なくとも f(y) \geqq 0 \cdots(ウ)$$
が成り立たなければならない。
(イ)において、
$$f(-1)=-23-48+64=-7<0$$
$$f(0)=64>0$$
$$f(3)=-207+144 + 64=1>0$$
$$f(4)=-23\cdot16+48\cdot4+64=-112<0$$
なので、
$$y の候補は、y=0,1,2,3$$
- $y=0$ のとき、(ア)は
$$2x^2-4x-6=0$$
$$(x+1)(x-3)=0$$
$$\therefore x=-1,3$$
- $y=1$ のとき、
$f(1)=-23+48+64=89$となって平方数にならないので、不適。
- $y=2$ のとき、
$f(2)=-92+96+64=68$となって平方数にならないので、不適。
- $y=3$ のとき、(ア)は
$$2x^2-7x+6=0$$
$$(2x-3)(x-2)=0$$
$x$ は整数より、
$$\therefore x=2$$
よって、i), ii), iii), iv) より、整数解は
$$\therefore (-1,0),~(3,0),~(2,3) //$$