• $$3x^2+xy-2y^2-x+4y-2$$ $$= (3x-2y)(x+y)-x+4y-2$$ $$= (3x-2y + 2)(x+y) -2(x+y)-x+4y-2$$ $$= (3x-2y + 2)(x+y) -(3x-2y+2)$$ $$=(3x-2y+2)(x+y-1)　//$$
• 　(1)より、 $$3x^2+xy-2y^2-x+4y-4=0$$ $$3x^2+xy-2y^2-x+4y-2=2$$ $$(3x-2y+2)(x+y-1)=2　\cdots(ア)$$ $x,y$ が整数のとき、$(3x-2y+2) , (x+y-1)$ も整数であるから、 $$(3x-2y+2 , x+y-1)$$ $$=(2,1),(1,2),(-1,-2),(-2,-1) のいずれか$$ である。
  この中で、$x,y$ ともに整数であるのは、$(1,2),(-1,0)$ のみ。 $$\therefore　(x,y)=(1,2), ~(-1,0)　//$$

$$2x^2-xy+3y^2-4x-5y-6=0$$ $$2x^2-(y+4)x+3y^2-5y-6=0　\cdots(ア)$$ (ア)を $x$ の2次方程式とみて、判別式を $D$ とおくと、 $$D = (y+4)^2-8(3y^2-5y-6)$$ $$D= -23y^2+48y+64$$ これを $f(y)$ とおくと、 $$f(y)= -23y^2+48y+64　\cdots(イ)$$ である。
ここで、 $x$ が整数となるには、 $$少なくとも f(y) \geqq 0　\cdots(ウ)$$ が成り立たなければならない。
(イ)において、 $$f(-1)=-23-48+64=-7<0$$ $$f(0)=64>0$$ $$f(3)=-207+144 + 64=1>0$$ $$f(4)=-23\cdot16+48\cdot4+64=-112<0$$ なので、 $$y の候補は、y=0,1,2,3$$

• 　$y=0$ のとき、(ア)は $$2x^2-4x-6=0$$ $$(x+1)(x-3)=0$$ $$\therefore　x=-1,3$$
• 　$y=1$ のとき、
  　$f(1)=-23+48+64=89$となって平方数にならないので、不適。
• 　$y=2$ のとき、
  　$f(2)=-92+96+64=68$となって平方数にならないので、不適。
• 　$y=3$ のとき、(ア)は $$2x^2-7x+6=0$$ $$(2x-3)(x-2)=0$$ 　$x$ は整数より、 $$\therefore　x=2$$ よって、i), ii), iii), iv) より、整数解は $$\therefore　(-1,0),~(3,0),~(2,3)　//$$