$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1　\cdots(ア)$$ まず、$x \leqq y \leqq z$ の時を考えて、 $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\leqq \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}=\frac{3}{x}$$ なので、(ア)より、 $$1 \leqq \frac{3}{x}　\therefore　x \leqq 3$$

• 　$x=1$ のとき、(ア)を満たす自然数$y,z$はない。
• 　$x=2$ のとき、$2\leqq y \leqq z \cdots(イ)$ で、(ア)より、 $$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}　\cdots(ウ)$$ (ウ)の両辺を$2yz$倍して、 $$2z+2y=yz$$ $$(2-y)z +2y=0$$ $$(2-y)z - 2(2-y)+4=0$$ $$(2-y)(z-2)=-4$$ $$\therefore　(y-2)(z-2)=4　\cdots(エ)$$ (イ)より、$0\leqq y-2 \leqq z-2$なので、 $$(y-2,z-2)=(1,4),(2,2)$$ $$\therefore　(x,y,z)=(2,3,6)\cdots(オ),~~(2,4,4)\cdots(カ)$$
• 　$x=3$ のとき、 $$\therefore 　(x,y,z)=(3,3,3)　\cdots(キ)$$ よって、i), ii), iii) より、$x \leqq y \leqq z$ の区別を外すと、 $$(オ)のとき、3!=3\cdot2\cdot1=6 (通り)$$ $$(カ)のとき、3 (通り)$$ $$(キ)のとき、1 (通り)$$ 以上から $$\therefore　6+3+1 = 10~ (組)　//$$