題意を満たす整数を $N$ とする。
ここで、
3 で割れば 2 余る整数は、 $$N=3x+2~~(3\leqq x \leqq 32)　\cdots(ア)$$ とおける。
また、4 で割れば 1 余る整数は、 $$N=4y+1~~(3\leqq y \leqq 24)　\cdots(イ)$$ とおける。
(ア)、(イ)より、 $$3x+2=4y+1$$ $$\therefore~~ 3x-4y=-1　\cdots(ウ)$$ ここで、(ウ)の解の一つとして、$(x,y)=(5,4)$ があるので、 $$3\cdot5-4\cdot4=-1　\cdots(エ)$$ が成立する。
(ウ)、(エ)の両辺をそれそれ引いて、 $$3(x-5)-4(y-4)=0$$ $$\therefore　3(x-5)=4(y-4)　\cdots(オ)$$ 3 と 4 は互いに素であるから、$(x-5)$ は 4 の倍数になるので、 $$x-5=4k~~(kは整数)$$ とおける。 $$\therefore　x=4k+5　\cdots(カ)$$ このとき、(オ)より、 $$3\cdot4k=4(y-4)$$ であり、 $$\therefore　y=3k+4　\cdots(キ)$$ ここで、(ア)、(カ)より、 $$3\leqq 4k+5 \leqq 32$$ $$\therefore　0\leqq k\leqq 6　\cdots(ク)$$ (イ)、(キ)より、 $$3\leqq 4k+5 \leqq 24$$ $$\therefore　0\leqq k\leqq 6　\cdots(ケ)$$ よって、(ク)、(ケ)より、 $$\therefore　題意を満たす2桁の整数は、7個ある。　//$$

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{10}$ の両辺に $10xy$ をかけて $$10y+20x=xy$$ $$xy-20x-10y=0$$ $$x(y-20) -10(y-20)-200=0$$ $$\therefore　(x-10)(y-20)=200　\cdots(ア)$$ ここで、$x>0$、$y>0$ より $$x-10>-10、y-20>-20$$ であるが、(ア)を満たすので、 $$\therefore　x-10>0、y-20>0　\cdots(イ)$$ ここで、$(x-10,y-20)$ の組は、200の正の約数の個数だけある。
よって、$(x,y)$ の個数も同数あるので、 $$200=2^3\cdot5^2$$ であるから、200の正の約数の個数は、 $$(3+1)\cdot(2+1)=12$$ $$\therefore　12個　// $$