こんにちは。
今回は、「整数問題」についての話題その２です。。。
今回も『合同式』を使うと有効な問題です。
では、さっそく、考えてみましょう。
問題
$7^{2021}$ を18 で割ったときの余りを求めよ。
$7^1\equiv 7 ~(\mathrm{mod}~18)$
$7^2=49\equiv 13 ~(\mathrm{mod}~18)$
$7^3=7\cdot7^2\equiv 7\cdot13 = 91 \equiv 1 ~(\mathrm{mod}~18)$
$7^4=7\cdot7^3\equiv 7\cdot 1 = 7 ~(\mathrm{mod}~18)$
$\cdots\cdots$
以上より、18で割った余りが $7,13,1$ という周期 3 で繰り返される。
$$7^{2021}=7^{3\cdot673+2}=\left(7^3\right)^{673}\cdot 7^2$$
$$7^{2021} \equiv 1^{673}\cdot 13 = 13$$
よって、
$$\therefore 余りは、13 。$$
それでは、別の問題を考えよう。
問題
整数からなる数列{$a_n$} を漸化式
$$a_1=1,~ a_2=3,~ a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_n$$
によって定める。$a_n$ が偶数になる $n$ をすべて求めよ。
$a_1 \equiv 1~(\mathrm{mod}~2)$
$a_2 = 3 \equiv 1~(\mathrm{mod}~2)$
$a_3 \equiv 3\cdot 1 - 7\cdot 1 = -4 \equiv 0~(\mathrm{mod}~2)$
$a_4 \equiv 3\cdot 0 -7\cdot1 \equiv -1 \equiv1~(\mathrm{mod}~2)$
$a_5 \equiv 3\cdot 1 -7\cdot0=3\equiv 1~(\mathrm{mod}~2)$
$a_6 \equiv 3\cdot 1 -7\cdot1=3\equiv -4 \equiv 0~(\mathrm{mod}~2)$
$a_7 \equiv 3\cdot 0 -7\cdot1=-7\equiv -1 \equiv 1~(\mathrm{mod}~2)$
$\cdots\cdots$
となり、
2で割った余りは、$1,1,0,1,1,0,1,1,0,\cdots$
のように、周期3で「$1,1,0$」が繰り返される。
$a_n$が偶数になるのは、余りが0のときだから、
$$\therefore n=3k~(kは自然数)のとき。$$
いかがでしたか。
理解は出来ましたか？
では、また次回にお会いしましょう。