今回は、「結晶の構造」についての話題です。。。
では、さっそく、考えてみましょう。
問題
銅の結晶は、面心立方格子であり、単位格子の一辺の長さを$3.6\times10^{-8} \mathrm{cm}$ とし、Cu$=63.5$、$\sqrt{2}=1.4$、$\sqrt{3}=1.7$、$\pi = 3.1$、アボガドロ数を $6.0\times10^{23}$ とする。
- 単位格子に何個の銀原子が含まれるか。
- 1 個の銀原子に隣接している他の銀原子は何個か。 ただし、銀原子は球形で、最も近い原子は互いに接しているものとする。
- 銅の原子半径は何 cm になるか。
- 銅の密度は、何 g / cm$^3$ か。
- 単位格子中で原子の充填率 [ % ] を求めよ。
- $\dfrac{1}{8}\times8+\dfrac{1}{2}\times6=4$ 個。 //
- 12 個。 //
- 面心立方格子では、各面の対角線に沿って原子が接触している。 銅の原子半径を $r$ とすると、 $$4r =(3.6\times10^{-8})\times\sqrt{2}$$ $$r = \frac{(3.6\times10^{-8})\times\sqrt{2}}{4}$$ $$r = \frac{(3.6\times10^{-8})\times1.4}{4}$$ $$r = 1.26\times 10^{-8}$$ $$\therefore r \approx 1.3\times10^{-8} ~\mathrm{cm} //$$
- 銅原子1個の質量は $\dfrac{63.5}{6.0\times10^{23}}$ g 。
単位格子の質量は、銅原子4個含むことから、 $$ \dfrac{63.5}{6.0\times10^{23}}\times4~~\mathrm{g}$$ また、単位格子の体積は、$\left(3.6\times10^{-8}\right)^3$ g 。
よって、 $$密度 = \frac{\dfrac{63.5}{6.0\times10^{23}}\times4}{\left(3.6\times10^{-8}\right)^3}$$ $$= \frac{63.5\times4}{(6.0\times10^{23})\times(3.6)^3\times10^{-24}}$$ $$= \frac{63.5\times4}{6.0\times46.7\times10^{-1}}$$ $$\therefore 密度 = 9.0649\cdots\approx9.1~[ \mathrm{g} /\mathrm{cm}^3] //$$ - 面心立方格子の単位格子には、合計4個の原子が含まれている。 また、単位格子の一辺の長さを l 、原子の半径を $r$ とすると、 $$4r = \sqrt{2}\ell$$ により、 $$r = \frac{\sqrt{2}}{4}\ell$$ $$充填率 = \frac{原子の占める体積}{単位格子の体積}$$ $$= \frac{\dfrac{4}{3}\pi r^3\times 4}{\ell^3}$$ $$= \frac{\dfrac{4}{3}\pi\times\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ell\right)^3\times 4}{\ell^3}$$ $$=\frac{\sqrt{2}\pi}{6}$$ $$= \frac{1.4\times 3.1}{6}$$ $$= 0.723\cdots \approx 0.72$$ $$\therefore 充填率 = 72~\% //$$
問題
ある金属の結晶は、体心立方格子であり、単位格子の一辺の長さは$2.86\times10^{-8}$ cm、
単位格子の体積は $2.34\times10^{-23}$ cm$^3$、密度は $7.93$ g / cm$^3$ である。
- 単位格子中に含まれる原子の数は何個か。
- 結晶中での原子の半径は何 cm か。 $\sqrt{2}=1.41$、$\sqrt{3}=1.73$、$\sqrt{5}=2.24$
- この金属の原子量はいくらか。アボガドロ定数を $6.02\times10^{23}$ とする。
- 単位格子中で原子の充填率 [ % ] を求めよ。
- $\dfrac{1}{8}\times8+1=2$ 個。 //
- 体心立方格子では、立方体の対角線に沿って原子が隣接するから、原子半径を $r$ 、 単位格子の一辺の長さを $\ell$ とすると、 $$4r=\sqrt{3}\ell$$ $$r=\frac{\sqrt{3}}{4}\ell$$ $$r = \frac{1.73\times2.86\times10^{-8}}{4}$$ $$r= 1.236\cdots \times10^{-8}$$ $$\therefore r \approx 1.24\times10^{-8}~~(\mathrm{cm}) //$$
- 単位格子の質量は、(体積$\times$密度)[g] で、 この単位格子には2個の原子を含むから、原子１個の質量は、 $$\frac{2.34\times10^{-23}\times7.93}{2}=9.2781\times10^{-23} [\mathrm{g}]$$ よって、この金属原子の原子量は、 $$9.278\times10^{-23}\times6.02\times10^{23}=55.853\cdots\approx 55.9 //$$
- 体心立方格子の単位格子には、合計2個の原子が含まれている。 また、単位格子の一辺の長さを l 、原子の半径を $r$ とすると、 $$4r = \sqrt{3}\ell$$ により、 $$r = \frac{\sqrt{3}}{4}\ell$$ $$充填率 = \frac{原子の占める体積}{単位格子の体積}$$ $$= \frac{\dfrac{4}{3}\pi r^3\times 2}{\ell^3}$$ $$= \frac{\dfrac{4}{3}\pi\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\ell\right)^3\times 2}{\ell^3}$$ $$=\frac{\sqrt{3}\pi}{8}$$ $$= \frac{1.73\times 3.14}{8}$$ $$= 0.6790\cdots \approx 0.68$$ $$\therefore 充填率 = 68~\% //$$
いかがでしたか。
理解は出来ましたか？
では、また次回にお会いしましょう。